Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Transcript

1 Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ, που ικανοποιούν της άλγεβρα της στροφορμής, για να εξετάσουμε την περίπτωση j. Αυτή είναι η περίπτωση του σπιν s. Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, δηλαδή όλα τα στοιχειώδη σωμάτια ύλης, έχουν σπιν. Αυτό σημαίνει ότι οι δομικές μονάδες της ύλης έχουν σπιν. Οι εξισώσεις ιδιοτιμών των τελεστών ˆ, s, s m s s s m () ˆ s, m m s, m () s s s Εφόσον s, m s s, Ŝ και ˆ γράφονται. Επομένως, οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των τελεστών και ˆ είναι οι δύο ιδιοκαταστάσεις, και,. Οι δύο αυτές ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν. Συνήθως, η ιδιοκατάσταση, Ŝ, δηλαδή η ιδιοκατάσταση με ιδιοτιμή του ˆ, αναφέρεται ως σπιν-πάνω και συμβολίζεται με ή, ενώ η ιδιοκατάσταση,, δηλαδή η ιδιοκατάσταση με ιδιοτιμή του ˆ και συμβολίζεται με ή., αναφέρεται ως σπιν-κάτω. Πίνακες του σπιν Πίνακες του Pauli Θα κατασκευάσουμε τους πίνακες,,, και αντίστοιχους τελεστές ˆ, ˆ, ˆ, και τελεστών Ŝ και ˆ, δηλαδή στη βάση,,,. που αναπαριστούν τους Ŝ στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των

2 Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις Jˆ j, m j j m m j, m j j m m j, m ˆ i J j, m j j mm j, m j j mm j, m που αποδείξαμε στην άσκηση της προηγούμενης ανάρτησης («Λυμένες ασκήσεις στροφορμής (Ι)»), οι οποίες ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή. Για την περίπτωση όπου j, οι σχέσεις αυτές γράφονται ˆ 3 3, ms ms ms, ms ms ms, ms 4 4 () ˆ i 3 3, ms ms ms, ms ms ms, ms 4 4 () Για ms και, η () μάς δίνει ˆ 3 3 3,,,, ms ˆ,, (3) Και ˆ 3 3 3,, ms,, 4 4 ˆ,, (4) Έτσι, αν η ιδιοκατάσταση, (σπιν-πάνω) είναι το πρώτο διάνυσμα βάσης και η ιδιοκατάσταση, (σπιν-κάτω) είναι το δεύτερο διάνυσμα βάσης, τα στοιχεία του πίνακα είναι, σύμφωνα και με τις (3) και (4), ˆ,,,,

3 ˆ,,,, ˆ,,,, ˆ,,,, Επομένως, ο πίνακας που αναπαριστά τον τελεστή ˆ, δηλαδή τη -συνιστώσα του τελεστή του σπιν Ŝ, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ, είναι (5) Με τον ίδιο τρόπο, κατασκευάζουμε τον πίνακα Για ms και, η () μάς δίνει. ˆ i 3 3 i,,, ms, 4 4 ˆ i,, (6) Και ˆ i 3 3,, ms, 4 4 i,

4 ˆ i,, (7) Επομένως, τα στοιχεία του πίνακα ˆ i,,,, ˆ i,,,, i ˆ i,,,, i ˆ i,,,, Επομένως, ο πίνακας είναι, σύμφωνα και με τις (6) και (7), που αναπαριστά τον τελεστή ˆ, δηλαδή την -συνιστώσα του τελεστή του σπιν Ŝ, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ, είναι i i i i i (8) i Στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ, ο πίνακας πρέπει να είναι διαγώνιος, με στοιχεία τις ιδιοτιμές του τελεστή ˆ, δηλαδή Πράγματι, από την εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή ˆ έχουμε ˆ, m m, m s s s Επομένως ˆ,, (9) ˆ,, () Άρα, τα στοιχεία του πίνακα είναι, σύμφωνα και με τις (9) και (),.

5 ˆ,,,, ˆ,,,, ˆ,,,, ˆ,,,, Επομένως, ο πίνακας που αναπαριστά τον τελεστή ˆ, δηλαδή τη -συνιστώσα του τελεστή του σπιν Ŝ, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ, είναι () Οι (5), (8), και () μάς δίνουν τους πίνακες που αναπαριστούν τους τελεστές ˆ, ˆ, ˆ, δηλαδή τις τρεις συνιστώσες του σπιν, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ. Παρατηρήστε ότι και οι τρεις πίνακες είναι ερμιτιανοί, όπως πρέπει, αφού αναπαριστούν ερμιτιανούς τελεστές. Οι συνιστώσες του σπιν είναι παρατηρήσιμα μεγέθη, επομένως οι αντίστοιχοι τελεστές ˆ, ˆ, ˆ είναι ερμιτιανοί. Παρατηρήστε επίσης ότι τα στοιχεία του πίνακα είναι πραγματικά, ενώ του είναι φανταστικά (το μηδέν ανήκει και στους πραγματικούς και στους φανταστικούς αριθμούς, επομένως μπορούμε να το θεωρήσουμε και πραγματικό και φανταστικό αριθμό). Μπορούμε να γράψουμε τις (5), (8), και () ως () (3) όπου (4)

6 , i i, Οι πίνακες,, είναι οι πίνακες του Pauli, και όπως βλέπουμε, είναι ερμιτιανοί. Ο πίνακας, που αναπαριστά τον τελεστή εξίσωση ιδιοτιμών του οποία για ms και 3 ˆ,, (5) 4 Ŝ, δηλαδή από την εξίσωση, μάς δίνει, αντίστοιχα, Ŝ κατασκευάζεται εύκολα από την ˆ 3, ms, m 4 s, η 3 ˆ,, (6) 4 Επομένως ˆ ˆ ˆ ˆ Άρα ˆ 3,, 4 3, ˆ,,, 4 3, ˆ,,, 4 ˆ 3,, 4 3 (7) 4 Όπως αναμέναμε, ο Ŝ. είναι διαγώνιος, με στοιχεία την ιδιοτιμή, 3 4, του τελεστή. Καταστάσεις του σπιν Σπίνορες (pinors) Όπως αναφέραμε, οι ιδιοκαταστάσεις των τελεστών,,, Ŝ και ˆ, δηλαδή το σύνολο, αποτελεί ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν. Κατά συνέπεια, μια τυχαία κατάσταση του σπιν, ας τη συμβολίσουμε με

7 , θα γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των δύο ιδιοκαταστάσεων,, δηλαδή a, b, (), όπου οι συντελεστές του αναπτύγματος, ab,, είναι μιγαδικοί αριθμοί, αφού ο χώρος των καταστάσεων του σπιν είναι ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος, και ειδικότερα είναι ένας μιγαδικός χώρος Hilbert. Αν εφαρμόσουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης στην κατάσταση, θα πάρουμε * *,,,, Η βάση,,, είναι ορθοκανονική a b a b a b a b () και Τότε, από την () βλέπουμε ότι το πλάτος πιθανότητας να μετρήσουμε τιμή για τη -συνιστώσα του σπιν είναι μετρήσουμε τιμή, a, ενώ το πλάτος πιθανότητας να για τη -συνιστώσα του σπιν είναι, b., το πλάτος πιθανότητας το σύστημά μας (το σωμάτιο με σπιν ) να βρεθεί, μετά από μια μέτρηση της -συνιστώσας του σπιν του, στην ιδιοκατάσταση, (σπινπάνω) είναι a, ενώ το πλάτος πιθανότητας το σύστημά μας να βρεθεί, μετά από μια μέτρηση της -συνιστώσας του σπιν του, στην ιδιοκατάσταση, (σπιν-κάτω) είναι b. Οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι κανονικοποίησης μάς εξασφαλίζει ότι a b. a και b, και η συνθήκη Θέλουμε τώρα να αναπαραστήσουμε τα διανύσματα βάσης, (σπιν-πάνω) και, (σπιν-κάτω), καθώς επίσης και την τυχαία κατάσταση, με πίνακες.

8 Υπενθυμίζουμε ότι θεωρούμε το διάνυσμα, ως πρώτο και το διάνυσμα, ως δεύτερο. Αυτή είναι μια αυθαίρετη, πλην όμως αναγκαία, σύμβαση, αφού οι αναπαραστάσεις εξαρτώνται από τη σειρά επιλογής των διανυσμάτων βάσης. Επειδή,,,, αναπαριστούμε το διάνυσμα, με το διάνυσμα-στήλη (ή πίνακα-στήλη), και γράφουμε,. Βάζουμε βέλος για να δηλώσουμε ότι πρόκειται για αναπαράσταση του διανύσματος, από το στοιχείο. Με την ίδια λογική, επειδή,,,, αναπαριστούμε το διάνυσμα, με το διάνυσμα-στήλη (ή πίνακα-στήλη), και γράφουμε,. Έτσι, από την () συμπεραίνουμε ότι η τυχαία κατάσταση αναπαρίσταται από το a a διάνυσμα-στήλη (ή πίνακα-στήλη), δηλαδή. b b Θυμίζουμε ότι οι αναπαραστάσεις αυτές γίνονται στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ. Σημειώσεις. Ως γενικός κανόνας, τα ket αναπαριστώνται από διανύσματα-στήλες (ή πίνακεςστήλες), ενώ τα bra αναπαριστώνται από διανύσματα-γραμμές (ή πίνακες-γραμμές), δηλαδή... N και * * *... N όπου N είναι η διάσταση του μιγαδικού χώρου Hilbert στον οποίο ανήκει η κατάσταση. Αν η είναι κανονικοποιημένη, τότε

9 N * * *... N i... n N. Τα διανύσματα-στήλες που αναπαριστούν τις καταστάσεις του σπιν ονομάζονται a σπίνορες (spinors)., τα στοιχεία,, και είναι σπίνορες. b 3. Εύρεση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων των πινάκων του σπιν Με τη βοήθεια της σχέσης (5) της ενότητας, η εξίσωση ιδιοτιμών του πίνακα γράφεται () Το, ως ιδιοδιάνυσμα, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως δεν μπορεί να είναι μηδέν. Έτσι, το ομογενές σύστημα () πρέπει να έχει μη μηδενική λύση, άρα Από την προηγούμενη εξίσωση παίρνουμε Η τελευταία σχέση μάς λέει ότι οι ιδιοτιμές του είναι, κάτι που αναμέναμε αφού αναπαριστά τον τελεστή ˆ, τη -συνιστώσα του σπιν που, όπως η - συνιστώσα, έχει ιδιοτιμές. Ας βρούμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. Για, το σύστημα () γράφεται

10 Επομένως, το ιδιοδιάνυσμα είναι το. Εφαρμόζουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης, και παίρνουμε * * Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Έτσι, λοιπόν, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα, ιδιοτιμής, είναι το. Αυτό το ιδιοδιάνυσμα αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ, την ιδιοκατάσταση όπου η -συνιστώσα του σπιν είναι. Αν συμβολίσουμε αυτήν την ιδιοκατάσταση με ; (σπιν-πάνω στον άξονα ), τότε ; () Για να βρούμε το ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής μπορούμε να κάνουμε τα ίδια. Ωστόσο, μπορούμε να το γράψουμε αμέσως αν σκεφτούμε ότι πρέπει να είναι ορθογώνιο στο ιδιοδιάνυσμα. Ο πίνακας είναι ερμιτιανός, επομένως τα ιδιοδιανύσματά του είναι μεταξύ τους κάθετα. Επειδή ο χώρος μας είναι διδιάστατος, υπάρχει μόνο μία κάθετη διεύθυνση σε μια δοθείσα. Επομένως, με εξαίρεση μια σταθερή φάση, που είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης των κβαντικών καταστάσεων, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής το. Ας το ελέγξουμε. Είναι είναι

11 Επομένως, το είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, και αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ, την ιδιοκατάσταση όπου η -συνιστώσα του σπιν είναι. Αν συμβολίσουμε αυτήν την ιδιοκατάσταση με ; (σπιν-κάτω στον άξονα ), τότε ; (3) Για τον πίνακα, με τη βοήθεια της σχέσης (8) της ενότητας, η εξίσωση ιδιοτιμών του γράφεται i i (4) i i Εφόσον το είναι ιδιοδιάνυσμα, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητο, επομένως δεν μπορεί να είναι μηδέν. Έτσι, το ομογενές σύστημα (4) πρέπει να έχει μη μηδενική λύση, άρα i i i Η τελευταία σχέση μάς λέει ότι οι ιδιοτιμές του είναι, κάτι που αναμέναμε αφού αναπαριστά τον τελεστή ˆ, την -συνιστώσα του σπιν που, όπως η - συνιστώσα, έχει ιδιοτιμές. Για, το σύστημα (4) γράφεται i i i i i i i i i i i

12 Επομένως, το ιδιοδιάνυσμα είναι το. i Εφαρμόζουμε τη συνθήκη κανονικοποίησης, και παίρνουμε i Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης των κβαντικών καταστάσεων, Έτσι, το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα, ιδιοτιμής, είναι το. Αυτό το ιδιοδιάνυσμα αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων i των τελεστών Ŝ και ˆ, την ιδιοκατάσταση όπου η -συνιστώσα του σπιν είναι. Αν συμβολίσουμε αυτήν την ιδιοκατάσταση με ; (σπιν-πάνω στον άξονα ), τότε ; (5) i Μπορούμε να γράψουμε αμέσως το ιδιοδιάνυσμα ιδιοτιμής, αν σκεφτούμε ότι πρέπει να είναι κάθετο, επομένως είναι το. Πράγματι, είναι i i i i i i i i i Αυτό είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα με ιδιοτιμή, δηλαδή αναπαριστά, στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ, την ιδιοκατάσταση όπου η -συνιστώσα του σπιν είναι άξονα ). Επομένως (σπιν-κάτω στον ; i (6) Σημείωση

13 Η «ελευθερία» μιας σταθερής φάσης που συνοδεύει τις κβαντικές καταστάσεις, η οποία είναι απόρροια της συμμετρίας φάσης, δηλαδή του γεγονότος ότι οι καταστάσεις και ep i (όπου μια σταθερή γωνία) είναι φυσικά ισοδύναμες, ισχύει και για τις αναπαραστάσεις των κβαντικών καταστάσεων. Επομένως, τα ιδιοδιανύσματα των πινάκων του σπιν επιλέγονται κι αυτά με την απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης. i Έτσι, για παράδειγμα, αντί του, θα μπορούσαμε να επιλέξουμε το i για ιδιοδιάνυσμα του με ιδιοτιμή. Πράγματι, είναι i i i i i i i Επίσης είναι i 3 i i i ep i i 3, τα δύο ιδιοδιανύσματα συνδέονται με μια σταθερή φάση. Όσον αφορά τον πίνακα, αυτός είναι διαγώνιος, όπως βλέπουμε από τη σχέση () της ενότητας, κάτι αναμενόμενο, αφού η βάση της αναπαράστασης είναι τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή ˆ (και του Ŝ ). Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του, δηλαδή, και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα είναι οι αναπαραστάσεις των ιδιοκαταστάσεων του τελεστή ˆ, δηλαδή των ιδιοκαταστάσεων,, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή (σπιν-πάνω στον άξονα ), και,, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή (σπιν-κάτω στον άξονα ). Ακολουθώντας τον συμβολισμό που χρησιμοποιήσαμε για τις ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ και ˆ, θα συμβολίσουμε με ; την ιδιοκατάσταση, και με ; την ιδιοκατάσταση,. Όπως είδαμε στην ενότητα, η ιδιοκατάσταση, αναπαρίσταται από τον σπίνορα, και η ιδιοκατάσταση, από τον σπίνορα, δηλαδή ; (7)

14 ; (8) Σημείωση Το είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα ιδιοτιμή και το είναι το κανονικοποιημένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή. Αν δεν έχετε πειστεί, μπορείτε εύκολα να το ελέγξετε! 4. Σε μια τυχαία κατάσταση του σπιν, υπολογισμός των πιθανοτήτων μέτρησης των ιδιοτιμών των τριών συνιστωσών του Για μια τυχαία κατάσταση πιθανότητες: i) η -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή του σπιν, θα υπολογίσουμε τις ακόλουθες ii) η -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή iii) η -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή iv) η -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή v) η -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή vi) η -συνιστώσα του σπιν έχει τιμή Αν για τις ιδιοκαταστάσεις των τριών συνιστωσών του τελεστή του σπιν χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό της ενότητας 3, μπορούμε να γράψουμε τα πλάτη των πιθανοτήτων i vi ως εξής: ;, ;, ;, ;, ;, και ; Στις ενότητες και 3, υπολογίσαμε τις αναπαραστάσεις (σπίνορες) όλων των εμπλεκόμενων καταστάσεων στη βάση των κοινών ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Ŝ και ˆ. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τους σπίνορες που βρήκαμε για να υπολογίσουμε τα πλάτη και τις ζητούμενες πιθανότητες. Σημείωση Όπως γνωρίζουμε από τη διανυσματική ανάλυση, το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων,, δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε για να το υπολογίσουμε. Μπορούμε να το υπολογίσουμε σε όποιο σύστημα συντεταγμένων μάς βολεύει, ή ακόμα και αφηρημένα, δηλαδή χωρίς να «καταφύγουμε» σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων.

15 Το ίδιο ισχύει και για τα εσωτερικά γινόμενα μεταξύ κβαντικών καταστάσεων, όπου τώρα το σύστημα συντεταγμένων είναι η βάση που χρησιμοποιούμε, στον χώρο των καταστάσεων, για να εκφράσουμε να αναπαραστήσουμε τις κβαντικές καταστάσεις (ή και τους τελεστές) που μας ενδιαφέρουν. Πριν προχωρήσουμε, ας ξαναγράψουμε, συγκεντρωτικά, τους σπίνορες που μας ενδιαφέρουν, όπως τους υπολογίσαμε στις ενότητες και 3. a, με a b ; ; ; i ; i ; ; b Επομένως, τα ζητούμενα πλάτη είναι a a b ; b a ab ; b a a ib ; i b a a ib ; i b ; a a b ; a b b Σημείωση

16 Θυμίζουμε ότι αν Έτσι, οι ζητούμενες πιθανότητες είναι, τότε * * i) P ; ; ii) P ; ; a b ab iii) P ; ; a ib a ib P ; ; iv) v) P ; ; a vi) P ; ; b Παρατηρούμε ότι a ba b a ba b * * * * * a b a b P; P; * * * * a b ab a b a b ab a b a b a b P P ; ; Επίσης, έχουμε a iba ib a iba ib * * * * a ib a ib P ; P ; * * * * a i b iab ia b a i b iab ia b a b a b P P ; ; Και P ; P ; a b Σε κάθε έναν από τους τρεις άξονες, το σπιν έχει δύο τιμές, τις ιδιοτιμές του αντίστοιχου τελεστή, δηλαδή (σπιν-πάνω) και (σπιν-κάτω). Επομένως, σε

17 κάθε άξονα, το άθροισμα της πιθανότητας να μετρήσουμε σπιν-πάνω και της πιθανότητας να μετρήσουμε σπιν-κάτω πρέπει να είναι, όπως και είναι. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.c.